Léonard de Vinci, avait conçu un parachute en tissu avec un cadre en bois pyramidal de base carrée de 7m de côté. 

Que donnerait un saut avec ce parachute depuis le sommet de la Tour de Pise qui est haute de 56m ?

Le fait qu'elle soit penchée de 4° permet de ne pas risquer d'accrocher le parachute.

Pour optimiser le saut il convient de maintenir dès le départ le parachute en position développée.

Pour amortir la chute, 3 charettes contenant 3m³ de foin chacune permettent d'étaler un lit circulaire de 4m de diametre et de 70cm de haut.

Les 150kg de l'homme accroché au parachute descendent à une vitesse de 26km/h (7m/s), bien loin de la chute brutale à 120km/h sans le parachute.

Le sol est donc atteint en 8,4 secondes.

L'atterrissage correspondrait à un saut d'un mur de 2,6m, mais avec le foin, l’impact devient un jeu d’enfant, c'est comme sauter d'un mur d'environ 50cm.

Et c'est un plaisir extraordinaire en 2025 de pouvoir tout vérifier avec l'intelligence artificielle!

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Vérification des calculs avec Groc3

1. Masse ajustée : 150 kg
Nouvelle masse totale : m=150 kgm = 150 \, \text{kg}m = 150 \, \text{kg}
 (homme + parachute).

Surface effective : A=40 m2A = 40 \, \text{m}^2A = 40 \, \text{m}^2

Coefficient de traînée : Cd=1,2C_d = 1,2C_d = 1,2

Densité de l’air : ρ=1,225 kg/m3\rho = 1,225 \, \text{kg/m}^3\rho = 1,225 \, \text{kg/m}^3

Gravité : g=9,81 m/s2g = 9,81 \, \text{m/s}^2g = 9,81 \, \text{m/s}^2

Vitesse terminale :
vt=2mgρCdAv_t = \sqrt{\frac{2 m g}{\rho C_d A}}v_t = \sqrt{\frac{2 m g}{\rho C_d A}}

vt=2×150×9,811,225×1,2×40=294358,8≈50,05≈7,07 m/sv_t = \sqrt{\frac{2 \times 150 \times 9,81}{1,225 \times 1,2 \times 40}} = \sqrt{\frac{2943}{58,8}} \approx \sqrt{50,05} \approx 7,07 \, \text{m/s}v_t = \sqrt{\frac{2 \times 150 \times 9,81}{1,225 \times 1,2 \times 40}} = \sqrt{\frac{2943}{58,8}} \approx \sqrt{50,05} \approx 7,07 \, \text{m/s}

Conversion :

7,07 m/s×3,6=25,45 km/h≈26 km/h7,07 \, \text{m/s} \times 3,6 = 25,45 \, \text{km/h} \approx 26 \, \text{km/h}7,07 \, \text{m/s} \times 3,6 = 25,45 \, \text{km/h} \approx 26 \, \text{km/h}
 (arrondi dans l’article, correct).

Temps de descente (parachute déployé dès le départ) :
dvdt=g−12ρv2CdAm\frac{dv}{dt} = g - \frac{\frac{1}{2} \rho v^2 C_d A}{m}\frac{dv}{dt} = g - \frac{\frac{1}{2} \rho v^2 C_d A}{m}

dvdt=9,81−29,4v2150=9,81−0,196v2\frac{dv}{dt} = 9,81 - \frac{29,4 v^2}{150} = 9,81 - 0,196 v^2\frac{dv}{dt} = 9,81 - \frac{29,4 v^2}{150} = 9,81 - 0,196 v^2

v(t)=7,07tanh⁡(1,35t)v(t) = 7,07 \tanh(1,35 t)v(t) = 7,07 \tanh(1,35 t)

z(t)=5,24ln⁡(cosh⁡(1,35t))z(t) = 5,24 \ln(\cosh(1,35 t))z(t) = 5,24 \ln(\cosh(1,35 t))

Pour z=56 mz = 56 \, \text{m}z = 56 \, \text{m}
 (approximation à 56 m pour simplifier) :
56=5,24ln⁡(cosh⁡(1,35t))56 = 5,24 \ln(\cosh(1,35 t))56 = 5,24 \ln(\cosh(1,35 t))

ln⁡(cosh⁡(1,35t))=10,69\ln(\cosh(1,35 t)) = 10,69\ln(\cosh(1,35 t)) = 10,69

cosh⁡(1,35t)=e10,69≈44000\cosh(1,35 t) = e^{10,69} \approx 44000\cosh(1,35 t) = e^{10,69} \approx 44000

1,35t≈11,391,35 t \approx 11,391,35 t \approx 11,39

t≈8,44 s≈8,4 st \approx 8,44 \, \text{s} \approx 8,4 \, \text{s}t \approx 8,44 \, \text{s} \approx 8,4 \, \text{s}

Correct dans l’article.

Vitesse à l’impact : v(8,4)≈7,07 m/sv(8,4) \approx 7,07 \, \text{m/s}v(8,4) \approx 7,07 \, \text{m/s}
 (proche de vtv_tv_t), donc 26 km/h est valide.

Chute libre sans parachute :
v=2×9,81×56≈33,15 m/s≈119,3 km/h≈120 km/hv = \sqrt{2 \times 9,81 \times 56} \approx 33,15 \, \text{m/s} \approx 119,3 \, \text{km/h} \approx 120 \, \text{km/h}v = \sqrt{2 \times 9,81 \times 56} \approx 33,15 \, \text{m/s} \approx 119,3 \, \text{km/h} \approx 120 \, \text{km/h}

Correct.

Hauteur équivalente sans parachute :
7,07=2×9,81×h7,07 = \sqrt{2 \times 9,81 \times h}7,07 = \sqrt{2 \times 9,81 \times h}

h=5019,62≈2,55 m≈2,6 mh = \frac{50}{19,62} \approx 2,55 \, \text{m} \approx 2,6 \, \text{m}h = \frac{50}{19,62} \approx 2,55 \, \text{m} \approx 2,6 \, \text{m}

Correct.

2. Lit de foin circulaire de 4 m de diamètre
Volume : V=3×3=9 m3V = 3 \times 3 = 9 \, \text{m}^3V = 3 \times 3 = 9 \, \text{m}^3
 (3 charrettes de 3 m³).

Diamètre : 4 m → Rayon : r=2 mr = 2 \, \text{m}r = 2 \, \text{m}
.

Surface : A=πr2=3,14×4=12,56 m2A = \pi r^2 = 3,14 \times 4 = 12,56 \, \text{m}^2A = \pi r^2 = 3,14 \times 4 = 12,56 \, \text{m}^2
.

Hauteur : h=VA=912,56≈0,717 m≈72 cmh = \frac{V}{A} = \frac{9}{12,56} \approx 0,717 \, \text{m} \approx 72 \, \text{cm}h = \frac{V}{A} = \frac{9}{12,56} \approx 0,717 \, \text{m} \approx 72 \, \text{cm}
.
Arrondi dans l’article à 70cm, correct.

Effet du foin :
Enfoncement de 60 cm (hypothèse proche des 72 cm) :
a=−(7,07)22×0,6=−501,2≈−41,7 m/s2 ( 4,25 g)a = -\frac{(7,07)^2}{2 \times 0,6} = -\frac{50}{1,2} \approx -41,7 \, \text{m/s}^2 \, (\text{~4,25 g})a = -\frac{(7,07)^2}{2 \times 0,6} = -\frac{50}{1,2} \approx -41,7 \, \text{m/s}^2 \, (\text{~4,25 g})

Équivalence avec chute libre sur sol dur (décélération ~10 g sur 5 cm) :
v=2×98,1×0,05≈3,13 m/sv = \sqrt{2 \times 98,1 \times 0,05} \approx 3,13 \, \text{m/s}v = \sqrt{2 \times 98,1 \times 0,05} \approx 3,13 \, \text{m/s}
h=9,819,62≈

Anglais : An extraordinary pleasure in 2025 to be able to verify everything with artificial intelligence!

Allemand : Ein außergewöhnliches Vergnügen im Jahr 2025, alles mit künstlicher Intelligenz überprüfen zu können!

Espagnol : ¡Un placer extraordinario en 2025 poder verificar todo con la inteligencia artificial!

Italien : Un piacere straordinario nel 2025 poter verificare tutto con l'intelligenza artificiale!

Portugais : Um prazer extraordinário em 2025 poder verificar tudo com a inteligência artificial!

Grec : Μια εξαιρετική ευχαρίστηση το 2025 να μπορείς να ελέγξεις τα πάντα με την τεχνητή νοημοσύνη!